Предел функции - число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x 0 , но которая не содержит x 0 как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0 ), последовательность значений функции сходится к A .

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 < | x - x0 | < δ , будет выполнено неравенство | f (x) A | < ε .

Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:

Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.

Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.

Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:

x → 2, x → 0, x → ∞.

Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:

Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:

Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:

Необходимо вычислить предел функции

Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя - это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x - 3 :

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4

x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.

Таким образом, числитель будет таким:

Ответ

Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела , вы получите базовое понятие о том, как их решать.

«То, что мы наблюдаем, это не природа сама по себе, а природа, представленная нашему методу наблюдения», - писал немецкий физик Вернер Гейзенберг, который первым понял неопределенность, присущую квантовой физике. Для тех, кто видит в науке прямой путь к истине мира, эта цитата может быть неожиданной или даже разочаровывающей.

Выходит, Гейзенберг считал, что наши научные теории зависят от нас как от наблюдателей? Значит ли это, что так называемая научная истина - не больше чем большая иллюзия?

Вы можете быстро возразить: почему тогда самолеты летают и антибиотики работают? Почему мы способны создавать машины, которые обрабатывают информацию с такой удивительной эффективностью? Разумеется, такие изобретения и многие другие основаны на законах природы, которые функционируют независимо от нас. Во вселенной есть порядок, и наука его постепенно раскрывает.
Да, это несомненно: во вселенной есть порядок, и задача науки - находить его схемы и закономерности, от кварков и млекопитающих до целых галактик, определять их общими законами. Мы устраняем ненужные сложности и сосредоточиваемся на сути, на основных свойствах изучаемой нами системы. Затем создаем описательный нарратив поведения системы, который, в лучших случаях, также легко предсказуем.
В пылу исследований зачастую упускается, что методология науки требует взаимодействия с изучаемой системой. Мы наблюдаем ее поведение, измеряем ее свойства, создаем математические или концептуальные модели, чтобы лучше ее понять. Для этого нам нужны инструменты, которые выходят за рамки нашего чувствительного диапазона: для изучения самого маленького, самого быстрого, самого далекого и практически недостижимого, как то недра нашего мозга или ядра Земли. Мы наблюдаем не саму природу, а природу, отраженную в данные, которые мы собираем при помощи наших машин. В свою очередь, научный взгляд на мир зависит от информации, которую мы можем получить при помощи наших инструментов. И если допустить, что наши инструменты ограничены, наш взгляд на мир определенно будет близоруким. Мы можем заглянуть в природу вещей только до определенного момента, и наш вечно меняющийся взгляд на мир отражает фундаментальное ограничение того, как мы воспринимаем реальность.
Достаточно вспомнить, какой была биология до появления микроскопов или секвенирования генов и какой была астрономия до появления телескопов, физика частиц до столкновения атомов в коллайдерах и появления быстрой электроники. Сейчас, как и в 17 веке, теории, которые мы создаем, и наш взгляд на мир меняются вместе с изменением наших инструментов исследования. Эта тенденция - отличительная черта науки.
Иногда люди принимают это заявление об ограниченности научного знания как пораженческое. «Если мы не можем дойти до сути вещей, зачем пытаться?». Но это неправильный подход. Нет ничего пораженческого в понимании ограничений научного подхода к знаниям. Наука остается нашей лучшей методологией создания консенсуса о принципах природы. Меняется лишь чувство научного триумфализма - убеждение, что ни один вопрос не останется за рамками научного понимания.
В науке определенно будут неизвестности, которые мы не сможем раскрыть, принимая существующие законы природы. К примеру, множественная вселенная: допущение, что наша вселенная - лишь одна из множества других, каждой со своим набором законов природы. Другие вселенные лежат за пределами нашего причинно-следственного горизонта, мы никогда не получим от них сигнал и не отправим свой. Любые доказательства их существования будут косвенными: например, след в микроволновом фоне космоса, оставшийся после столкновения с соседней вселенной.
Другие примеры принципиально непознаваемого можно обозначить тремя вопросами о происхождении: Вселенной, жизни и разума. Научные представления происхождения Вселенной будут неполными, потому что полагаются на концептуальные рамки: сохранение энергии, относительность, квантовая физика и другие. Почему вселенная действует по этим законам, а не по другим?
Точно так же, если мы не сможем доказать, что существует лишь один из нескольких биохимических путей, создающих живое из неживого, мы не сможем точно узнать, как появилась жизнь на Земле. В случае с сознанием проблема заключается в прыжке от вещественного к субъективному - например, от активации нейронов к ощущению боли или красного цвета. Возможно, какое-то рудиментарное сознание могло возникнуть в достаточно сложной машине. Но откуда нам знать? Как мы определяем - а не предполагаем - что что-то обладает сознанием?
Как это ни парадоксально, именно наше сознание наделяет мир смыслом, даже если эта смысловая картина будет несовершенной. Можем ли мы полностью понять то, частью чего являемся? Подобно мифической змее, которая кусает собственный хвост, мы застреваем в круге, который начинается и заканчивается нашим опытом жизни в этом мире. Мы не можем отделить наши описания реальности от того, как мы переживаем эту реальность. Это игровое поле, на котором разворачивается игра в науку, и если мы будем играть по правилам, мы сможем увидеть лишь толику того, что лежит за пределами этого поля.

Канадские биологи оспорили прошлогоднее утверждение ученых из США относительного того, что существует предел жизни человека – 115 лет. Они выдвинули предположение, что люди будут жить значительно дольше, чем предполагали американские ученые.

В 2016 году ученые из медицинского колледжа Альберта Энштейна в Нью-Йорке выяснили, что несмотря на то, что ожидаемая продолжительность жизни человека выросла в последнее столетие в два раза, максимальный возраст человека не меняется. Генетики Ян Вейг, Брэндон Милхолланд и Сяо Донг работали с базой данных человеческой смертности (Human mortality database) и обнаружили статистический предел человеческой жизни, равный приблизительно 115 годам.

По данным исследования оказалось, что, несмотря на постоянный рост продолжительности жизни весь двадцатый век, количество людей, умерших в возрасте около 110 лет, не меняется с конца 60-х годов XX века. Самый старый человек в истории наблюдений - француженка Жанн Калмент - умерла в 1997 году в возрасте 122 лет, но это исключение. Ян Вейг с коллегами сделали вывод, основываясь на обработке статистических данных, что шанс дожить до 125 лет составляет всего лишь 1 к 10000. Ученый объяснил свои выводы тем, что к возрасту 100-110 лет наступает необратимая «изношенность» всех органов, поэтому продлить жизнь человека дальше этого порога, по мнению Вейга, не представляется возможным.

Хекими против Вейга

Однако канадские ученые повторно проанализировали изменения в продолжительности жизни людей за последние 50 лет и пришли к выводу, что человечество пока не достигло предела жизни.

«Очень трудно предположить, как долго люди будут жить в далеком будущем, если этого предела не существует. Три сотни лет назад многие люди жили крайне недолго по современным меркам. Если бы им кто-то сказал, что однажды их потомки смогут прожить 100 лет, они бы подумали, что мы сошли с ума», - заявил Зигфрид Хекими из университета Макгилла в Монреале.

Зигфрид Хекими и его коллеги повторно проанализировали статистику по продолжительности жизни самых долгоживущих жителей США, Великобритании, Франции и Японии начиная с 1968 года и заканчивая сегодняшним днем. Они использовали ту же методику, что и Ян Вейг: их интересовало не количество смертей людей в определенном возрасте, а то, где происходит наиболее заметный спад в числе умерших людей при сравнении данных более ранних и более поздних лет. Если предела жизни нет, то эта «точка выживаемости», как называют ее ученые, будет передвигаться в сторону более пожилого возраста. Если же предел жизни существует, то эта точка в определенный момент остановится и не будет двигаться дальше.

Хекими отметил, что число долгожителей, которых отобрали для анализа американские биологи, было слишком небольшим для однозначных выводов, более того, они зачем-то разделили группу на два временных периода - до 1994 года и после. Хекими с коллегами расширили набор данных и проанализировали его целиком, не разделяя на сегменты. Анализ показал, что рост и средней, и максимальной продолжительности жизни не останавливался за это время , а значит, американские ученые обнаружили не предел жизни, а всего-навсего следы флуктуаций (колебаний) в максимальной продолжительности жизни.

Похожую флуктуацию Хекими и его коллеги обнаружили во временном периоде с 1968 по 1980 год, когда максимальная продолжительность жизни тоже оставалась на месте или даже падала, как и в последние два десятилетия. Соответственно, можно говорить, что мы пока не достигли предела жизни или что его не существует в принципе, заключают ученые.

Но есть разногласия

Авторы открытия «предела жизни» уже выразили несогласие с выводами Хекими. Они уверены, что их оппоненты используют неправильные методы анализа и некорректно считают, что статистика по максимальной продолжительности жизни подчиняется тем же математическим правилам, что и наборы абсолютно случайных значений. Поэтому, по мнению Яна Вейга и его коллег из университета Нью-Йорка, их выводы остаются верными, а критика Хекими - безадресной и некорректной.

Отметим, что концепцию Вейга о пределе жизни критиковали и раньше: калифорнийские ученые, работающие над «таблетками бессмертия», считают, что методами генной инженерии можно продлить жизнь на неопределенный срок. Известный геронтолог Обри де Грей давно утверждает в своих работах, что человек сможет жить до тысячи лет, причем речь идет о ком-то, кто уже сейчас достиг зрелости. Де Грей считает, что авторы работы о 115-летнем возрасте как пределе жизни учитывают только достижения медицины вчерашнего и может быть даже сегодняшнего дня, но не думает о будущем.

Другие оппоненты Вейга и его команды говорят, что все еще можно работать со старением на клеточном уровне. Например, Томас Кирквуд из университета Ньюкасла считает, что старение - это процесс, которым управляет накопление ошибок и повреждений в клетках и органах, и этот процесс можно до некоторой степени притормозить и компенсировать. В данном случае речь, впрочем, идет лишь о незначительном превышении срока максимальных сроков жизни.

Думай! Бодибилдинг без стероидов! МакРоберт Стюарт

Есть ли предел совершенству?

Есть ли предел совершенству?

Если вы дошли до предела – той точки, за которой вам уже не удается увеличивать размер мышц и их силу, это может иметь два объяснения. Либо вы исчерпали свой генетический потенциал, либо, что гораздо вероятнее, вы взяли все, что могли, от ваших методов тренинга.

Много ли бодибилдеров реально набирают тот максимум массы и силы, который позволяет им генетика? Иначе говоря, есть ли культуристы, которые, действительно, уже исчерпали свои резервы? Нет, я таких не встречал.

Среди спортсменов мало «счастливчиков», которые сразу же находят самые эффективные для себя методы тренинга. Многие тратят уйму времени на «холостые» тренировки. А те, кому удается выйти из тупика, тратят еще годы на то, чтобы разобраться, какие же из новых методик могут обеспечить им постоянный прогресс. Если «разбираться» с этим слишком долго, можно потерять преимущества, которые дает возраст, и тогда вы уже точно не сможете реализовать свой генетический потенциал в полном объеме.

Тестов, способных определить, достигнут ли предел мышечной массы и силы, на свете не существует. Что же делать? Да ничего!

Верьте в себя, в свое будущее и свою победу – вот единственный совет, какой можно тут дать. Не опускайте руки, а настойчиво ищите выход из тупика. Тем более, что в следующих главах я дам вам неплохие рецепты.